Operaciones entre funciones

Después de haber analizado en las entradas anteriores aspectos generales a cerca de lo que es una función, pasamos ahora al estudio de las diferentes operaciones que pueden realizarse entre un par de funciones definidas sobre el mismo Dominio. Así pues que vayamos a revisar con atención lo siguiente:

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

                                          

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

                                          

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

                                          

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

                                                

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

                                             

Ejemplos:

Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

La función f + g se define como:

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + (2x - 4) = .

 x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3

Entonces:

(f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen de 2:

Dadas las funciones f (x) = x² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x) y calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.
Resolución:

 (f - g) (x) = f(x) - g(x) = x² - 3 - (x + 3) = x² - 3 - x - 3 = x² - x - 6

Luego:

                                   (f - g) (1/3) = (1/3)² - (1/3) - 6 = - 56/9

                                (f - g) (-2) = (-2)² - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0

                                  (f - g) (0) = (0)² - (0) - 6 = 0 - 0 - 6 = - 6

Al igual que ocurrió con la suma de funciones, si se hace el cálculo de las imagenes de los números mediante las funciones f y g por separado y luego se restan dichos resulatados, se obtiene el mismo resultado.

Considera ahora las funciones f ( x ) = 2 x + 1  y  g ( x ) = 5x  – 3. Calcular (fg)(x)
Resolución:

Ahora analiza las siguientes funciones y la división entre ellas. Sean:

Encontrar 

Resolución: 

A partir de las función f(x) = x² + x - 2, calcular 3*f   y obtener las imagenes de los números 2 y 1 

Resolución:                                                                                                            
                                                        
                                                     
                                                   

Otra forma de combinar dos funciones para crear una nueva función es la llamada "Composición de Funciones", en la que sustituimos una función completa en otra función. La notación que se emplea para representar esta operación es la siguiente:  y se lee f de g de x . Significa que donde sea que haya una x en la función f , es reemplazada con la función g ( x ). El dominio de  es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g ( x ) está en el dominio de f .

Ejemplo: Digamos que f ( x ) = x 2   y   g ( x ) = x – 3.   Encuentre f ( g ( x )).

Resolución: 

Como complemento de lo ya presentado hasta este punto se muestra a continuación un video producido por Julio Profe en el que se explica de forma sencilla estos temas. 

Para más información a cerca de la composición de funciones, visita el siguiente enlace: https://www.vitutor.com/fun/2/a_4.html